Fläche berechnen

Siehe auch: Eigenschaften von Polygonen

Die Fläche ist ein Maß dafür, wie viel Platz sich in einer Form befindet. Die Berechnung der Fläche einer Form oder Oberfläche kann im Alltag hilfreich sein. Beispielsweise müssen Sie möglicherweise wissen, wie viel Farbe Sie kaufen müssen, um eine Wand zu bedecken, oder wie viel Grassamen Sie benötigen, um einen Rasen zu säen.

Diese Seite behandelt die wichtigsten Informationen, die Sie benötigen, um die Bereiche gängiger Formen einschließlich Quadrate und Rechtecke, Dreiecke und Kreise zu verstehen und zu berechnen.

Flächenberechnung mit der Rastermethode

Wenn eine Form auf einem skalierten Raster gezeichnet wird, können Sie den Bereich ermitteln, indem Sie die Anzahl der Rasterquadrate innerhalb der Form zählen.



Nummeriertes Gitter zur Berechnung der Fläche einer Form.

In diesem Beispiel befinden sich 10 Gitterquadrate innerhalb des Rechtecks.


Um einen Flächenwert mithilfe der Gittermethode zu finden, müssen wir die Größe kennen, die ein Gitterquadrat darstellt.

In diesem Beispiel werden Zentimeter verwendet, aber die gleiche Methode gilt für jede Längen- oder Entfernungseinheit. Sie könnten zum Beispiel Zoll, Meter, Meilen, Fuß usw. verwenden.

Verwenden eines Rasters zum Berechnen der Fläche einer Form.

In diesem Beispiel hat jedes Gitterquadrat eine Breite von 1 cm und eine Höhe von 1 cm. Mit anderen Worten, jedes Gitterquadrat ist ein 'Quadratzentimeter'.

Zählen Sie die Gitterquadrate innerhalb des großen Quadrats, um dessen Fläche zu finden.

Es gibt 16 kleine Quadrate, so dass die Fläche des großen Quadrats 16 Quadratzentimeter beträgt.

In der Mathematik werden 'Quadratzentimeter' auf cm abgekürztzwei. Daszweibedeutet 'quadratisch'.

Jedes Gitterquadrat ist 1 cm großzwei.

Die Fläche des großen Quadrats beträgt 16 cmzwei.


Das Zählen von Quadraten in einem Raster, um den Bereich zu finden, funktioniert für alle Formen - sofern die Rastergrößen bekannt sind. Diese Methode wird jedoch schwieriger, wenn Formen nicht genau zum Raster passen oder wenn Sie Bruchteile von Rasterquadraten zählen müssen.

1 cm quadratisches Raster zur Berechnung der Fläche einer Form.

In diesem Beispiel passt das Quadrat nicht genau auf das Raster.

Wir können die Fläche immer noch berechnen, indem wir Gitterquadrate zählen.

  • Es gibt 25 Vollgitterquadrate (blau schattiert).
  • 10 halbe Gitterquadrate (gelb schattiert) - 10 halbe Quadrate entsprechen 5 vollen Quadraten.
  • Es gibt auch 1 Viertelquadrat (grün schattiert) - (¼ oder 0,25 eines ganzen Quadrats).
  • Addiere die ganzen Quadrate und Brüche: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Die Fläche dieses Quadrats beträgt daher 30,25 cmzwei.

Sie können dies auch als 30¼cm schreibenzwei.


Obwohl die Verwendung eines Gitters und das Zählen von Quadraten innerhalb einer Form eine sehr einfache Methode zum Erlernen der Konzepte von Flächen ist, ist es weniger nützlich, exakte Flächen mit komplexeren Formen zu finden, wenn möglicherweise viele Bruchteile von Gitterquadraten addiert werden müssen.

Ist es zu spät, Codieren zu lernen?

Die Fläche kann mit einfachen Formeln berechnet werden, abhängig von der Art der Form, mit der Sie arbeiten.

Der Rest dieser Seite erklärt und gibt Beispiele für die Berechnung der Fläche einer Form ohne Verwendung des Rastersystems.


Bereiche einfacher Vierecke:
Quadrate und Rechtecke und Parallelogramme

Die einfachsten (und am häufigsten verwendeten) Flächenberechnungen gelten für Quadrate und Rechtecke.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu ermitteln, multiplizieren Sie seine Höhe mit seiner Breite.

Für ein Quadrat müssen Sie nur die Länge einer der Seiten ermitteln (da jede Seite dieselbe Länge hat) und diese dann mit sich selbst multiplizieren, um die Fläche zu ermitteln. Dies ist das gleiche wie Länge zu sagenzweioder Länge im Quadrat.

Es wird empfohlen, durch Messen von zwei Seiten zu überprüfen, ob eine Form tatsächlich ein Quadrat ist. Zum Beispiel mag die Wand eines Raumes wie ein Quadrat aussehen, aber wenn Sie es messen, stellen Sie fest, dass es sich tatsächlich um ein Rechteck handelt.

Diagramm zur Berechnung der Fläche von Quadraten und Rechtecken.

Im wirklichen Leben können Formen oft komplexer sein. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie möchten den Bereich eines Bodens finden, damit Sie die richtige Menge Teppich bestellen können.

Ein typischer Grundriss eines Raums besteht möglicherweise nicht aus einem einfachen Rechteck oder Quadrat:

Diagramm zur Darstellung der Berechnung der Fläche eines ungerade geformten Raums.

In diesem und ähnlichen Beispielen besteht der Trick darin, die Form in mehrere Rechtecke (oder Quadrate) aufzuteilen. Es spielt keine Rolle, wie Sie die Form teilen - jede der drei Lösungen führt zu derselben Antwort.

Für Lösung 1 und 2 müssen Sie zwei Formen erstellen und ihre Flächen addieren, um die Gesamtfläche zu ermitteln.

Für Lösung 3 erstellen Sie eine größere Form (A) und subtrahieren die kleinere Form (B) davon, um den Bereich zu finden.


Ein weiteres häufiges Problem besteht darin, den Bereich eines Randes zu finden - eine Form innerhalb einer anderen Form.

Dieses Beispiel zeigt einen Pfad um ein Feld - der Pfad ist 2 m breit.

Auch in diesem Beispiel gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Bereich des Pfads zu ermitteln.

Sie können den Pfad als vier separate Rechtecke anzeigen, ihre Abmessungen und dann ihre Fläche berechnen und schließlich die Flächen addieren, um eine Gesamtsumme zu erhalten.

Ein schnellerer Weg wäre, den Bereich der gesamten Form und den Bereich des internen Rechtecks ​​zu berechnen. Subtrahieren Sie den internen Rechteckbereich vom Ganzen und verlassen Sie den Bereich des Pfads.

Diagramm, das zeigt, wie der Bereich des Randes einer Form berechnet wird.
  • Die Fläche der gesamten Form beträgt 16 m × 10 m = 160 mzwei.
  • Wir können die Abmessungen des Mittelteils berechnen, da wir wissen, dass der Pfad um die Kante 2 m breit ist.
  • Die Breite der gesamten Form beträgt 16 m und die Breite des Pfades über die gesamte Form beträgt 4 m (2 m links von der Form und 2 m rechts). 16 m - 4 m = 12 m
  • Wir können dasselbe für die Höhe tun: 10 m - 2 m - 2 m = 6 m
  • Wir haben also berechnet, dass das mittlere Rechteck 12 m × 6 m groß ist.
  • Die Fläche des mittleren Rechtecks ​​beträgt daher: 12 m × 6 m = 72 mzwei.
  • Schließlich nehmen wir den Bereich des mittleren Rechtecks ​​vom Bereich der gesamten Form weg. 160 - 72 = 88 mzwei.

Die Fläche des Weges beträgt 88mzwei.


ZU Parallelogramm ist eine vierseitige Form mit zwei Seitenpaaren gleicher Länge - per Definition ist ein Rechteck eine Art Parallelogramm. Die meisten Menschen neigen jedoch dazu, Parallelogramme als vierseitige Formen mit abgewinkelten Linien zu betrachten, wie hier dargestellt.

Berechnung der Fläche eines Parallelogramms.

Die Fläche eines Parallelogramms wird auf die gleiche Weise wie für ein Rechteck (Höhe × Breite) berechnet. Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass Höhe nicht die Länge der vertikalen (oder nicht vertikalen) Seiten, sondern den Abstand zwischen den Seiten bedeutet.

Aus dem Diagramm können Sie ersehen, dass die Höhe der Abstand zwischen der Ober- und Unterseite der Form ist - nicht die Länge der Seite.

Stellen Sie sich eine imaginäre Linie im rechten Winkel zwischen der Ober- und Unterseite vor. Das ist die Höhe.


Bereiche der Dreiecke

Es kann nützlich sein, sich ein Dreieck als die Hälfte eines Quadrats oder Parallelogramms vorzustellen.

Ein Dreieck ist ein halbes Quadrat oder Rechteck.

Angenommen, Sie kennen (oder können messen) die Abmessungen eines Dreiecks, dann können Sie dessen Fläche schnell berechnen.

Die Fläche eines Dreiecks ist (Höhe × Breite) ÷ 2.

Mit anderen Worten, Sie können die Fläche eines Dreiecks auf die gleiche Weise wie die Fläche für ein Quadrat oder ein Parallelogramm berechnen und dann Ihre Antwort durch 2 teilen.

Die Höhe eines Dreiecks wird als rechtwinklige Linie von der unteren Linie (Basis) bis zum „Scheitelpunkt“ (oberer Punkt) des Dreiecks gemessen.

Hier sind einige Beispiele:

Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Die Fläche der drei Dreiecke im obigen Diagramm ist dieselbe.

Jedes Dreieck hat eine Breite und Höhe von 3 cm.

Die Fläche wird berechnet:

(Höhe × Breite) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

Die Fläche jedes Dreiecks beträgt 4,5 cmzwei.


In realen Situationen können Sie mit einem Problem konfrontiert sein, bei dem Sie den Bereich eines Dreiecks finden müssen, z. B.:

Sie möchten das Giebelende einer Scheune streichen. Sie möchten den Dekorationsladen nur einmal besuchen, um die richtige Menge Farbe zu erhalten. Sie wissen, dass ein Liter Farbe 10 m bedecktzweider Wand. Wie viel Farbe benötigen Sie, um das Giebelende abzudecken?

Giebelende (Dreieck)

Sie benötigen drei Messungen:

A - Die Gesamthöhe bis zur Dachspitze.

B - Die Höhe der vertikalen Wände.

C - Die Breite des Gebäudes.

In diesem Beispiel sind die Messungen:

A - 12,4 m

B - 6,6 m

C - 11,6 m

Die nächste Stufe erfordert einige zusätzliche Berechnungen. Stellen Sie sich das Gebäude als zwei Formen vor, ein Rechteck und ein Dreieck. Aus den Messungen, die Sie haben, können Sie die zusätzliche Messung berechnen, die erforderlich ist, um den Bereich des Giebelendes zu berechnen.

Teilen Sie die komplexe Form in einfache Formen auf, um die Fläche zu berechnen

Messung D = 12,4 - 6,6

D = 5,8 m

Sie können jetzt den Bereich der beiden Teile der Wand berechnen:

Fläche des rechteckigen Wandteils: 6,6 × 11,6 = 76,56 mzwei

Fläche des dreieckigen Teils der Wand: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64 mzwei

Addieren Sie diese beiden Bereiche, um die Gesamtfläche zu ermitteln:

76,56 + 33,64 = 110,2 mzwei

Wie Sie wissen, bedeckt ein Liter Farbe 10 mzweivon Wand, damit wir herausfinden können, wie viele Liter wir kaufen müssen:

110,2 ÷ 10 = 11,02 Liter.

In der Realität werden Sie vielleicht feststellen, dass Farbe nur in 5-Liter- oder 1-Liter-Dosen verkauft wird. Das Ergebnis sind etwas mehr als 11 Liter. Sie könnten versucht sein, auf 11 Liter abzurunden, aber wenn wir die Farbe nicht verwässern, reicht das nicht aus. Sie werden also wahrscheinlich auf den nächsten ganzen Liter aufrunden und zwei 5-Liter-Dosen und zwei 1-Liter-Dosen kaufen, die insgesamt 12 Liter Farbe ergeben. Dies ermöglicht jegliche Verschwendung und lässt den größten Teil eines Liters übrig, um zu einem späteren Zeitpunkt nachgebessert zu werden. Und vergessen Sie nicht, wenn Sie mehr als einen Anstrich auftragen müssen, müssen Sie die Farbmenge für einen Anstrich mit der Anzahl der erforderlichen Anstriche multiplizieren!


Bereiche von Kreisen

Um die Fläche eines Kreises zu berechnen, müssen Sie dessen kennen Durchmesser oder Radius .

Durchmesser und Radius eines Kreises

Das Durchmesser eines Kreises ist die Länge einer geraden Linie von einer Seite des Kreises zur anderen, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius (Durchmesser = Radius × 2)

Das Radius eines Kreises ist die Länge einer geraden Linie vom Mittelpunkt des Kreises bis zu seiner Kante. Der Radius beträgt die Hälfte des Durchmessers. (Radius = Durchmesser ÷ 2)

Sie können den Durchmesser oder Radius an jedem Punkt um den Kreis messen. Wichtig ist, dass Sie mit einer geraden Linie messen, die durch den Durchmesser verläuft oder am Mittelpunkt des Kreises endet.

In der Praxis ist es beim Messen von Kreisen oft einfacher, den Durchmesser zu messen und dann durch 2 zu teilen, um den Radius zu ermitteln.

Sie benötigen den Radius, um die Fläche eines Kreises zu berechnen. Die Formel lautet:

Kreisfläche = & pi; R.zwei.

Das heisst:

Π = Pi ist eine Konstante, die gleich 3,142 ist.

R = ist der Radius des Kreises.

R.zwei(Radius im Quadrat) bedeutet Radius × Radius.


Daher a Kreis mit einem Radius von 5cm hat eine Fläche von:

3,142 × 5 × 5 = 78,55 cmzwei.

ZU Kreis mit einem Durchmesser von 3m hat einen Bereich:

Zuerst berechnen wir den Radius (3m ÷ 2 = 1,5m)

Dann wenden Sie die Formel an:

& pi; R.zwei

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

Die Fläche eines Kreises mit einem Durchmesser von 3 m beträgt 7,0695 mzwei.


Letztes Beispiel

In diesem Beispiel wird ein Großteil des Inhalts dieser Seite zur Lösung einfacher Bereichsprobleme herangezogen.

Berechnungsfläche - Bloomington Benjamin House Beispiel.

Dies ist das Ruben M. Benjamin Haus in Bloomington, Illinois, eingetragen im National Register of Historic Places der Vereinigten Staaten (Datensatznummer: 376599).

In diesem Beispiel wird der Bereich an der Vorderseite des Hauses gefunden, der Holzlattenteil - mit Ausnahme der Tür und der Fenster. Die Maße, die Sie benötigen, sind:

A - 9,7 m B - 7,6 m
C - 8,8 m D - 4,5 m
E - 2,3 m F - 2,7 m
G - 1,2 m H - 1,0 m

Anmerkungen:

  • Alle Maße sind ungefähre Angaben.
  • Sie müssen sich keine Sorgen um die Grenze um das Haus machen - dies wurde nicht in die Messungen einbezogen.
  • Wir gehen davon aus, dass alle rechteckigen Fenster gleich groß sind.
  • Das runde Fenstermaß ist der Durchmesser des Fensters.
  • Das Maß für die Tür umfasst die Stufen.

Was ist die Fläche des Holzlattenteils des Hauses?

Funktionsweise und Antworten unten:



Antworten auf das obige Beispiel

Berechnen Sie zunächst den Bereich der Hauptform des Hauses - das ist das Rechteck und Dreieck, aus denen die Form besteht.

Das Hauptrechteck (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88 mzwei.

Die Höhe des Dreiecks beträgt (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

Die Fläche des Dreiecks beträgt daher (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24 mzwei.

Die kombinierte Gesamtfläche der Vorderseite des Hauses ist die Summe der Flächen des Rechtecks ​​und des Dreiecks:

66,88 + 9,24 = 76,12 mzwei.

Als nächstes arbeiten Sie die Bereiche der Fenster und Türen aus, damit sie vom gesamten Bereich abgezogen werden können.

Die Fläche der Tür und der Stufen beträgt (T × E) 4,5 × 2,3 = 10,35 mzwei.

wie schreibe ich ein methodisches beispiel

Die Fläche eines rechteckigen Fensters beträgt (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 mzwei.

Es gibt fünf rechteckige Fenster. Multiplizieren Sie die Fläche eines Fensters mit 5.

3,24 × 5 = 16,2 m 2. (die Gesamtfläche der rechteckigen Fenster).

Das runde Fenster hat einen Durchmesser von 1 m, sein Radius beträgt daher 0,5 m.

Verwenden von & pi; R.zweiBerechnen Sie den Bereich des runden Fensters: 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855 mzwei.

Addieren Sie als nächstes die Bereiche der Tür und der Fenster.

(Türbereich) 10,35 + (rechteckiger Fensterbereich) 16,2 + (runder Fensterbereich) 0,7855 = 27,3355

Subtrahieren Sie abschließend die Gesamtfläche für die Fenster und Türen von der Gesamtfläche.

76,12 - 27,3355 = 48,7845

Der Bereich der Holzlattenfront des Hauses und die Antwort auf das Problem lautet: 48,7845 mzwei.

Möglicherweise möchten Sie die Antwort auf 48,8 m rundenzweioder 49mzwei.

Siehe unsere Seite auf Schätzung, Annäherung und Rundung .

Weiter:
Referenzblatt für Fläche, Oberfläche und Volumen

Volumen berechnen