Volumen berechnen

Siehe auch: Dreidimensionale Formen

Auf dieser Seite wird erläutert, wie Sie das Volumen fester Objekte berechnen, d. H. Wie viel Sie in ein Objekt passen könnten, wenn Sie es beispielsweise mit einer Flüssigkeit füllen würden.

Bereich ist das Maß dafür, wie viel Platz in einem zweidimensionalen Objekt vorhanden ist (siehe unsere Seite: Fläche berechnen für mehr).

Das Volumen ist das Maß dafür, wie viel Platz sich in einem dreidimensionalen Objekt befindet. Unsere Seite auf dreidimensionale Formen erklärt die Grundlagen solcher Formen.



In der realen Welt ist die Berechnung des Volumens wahrscheinlich nicht so häufig wie die Berechnung der Fläche.

Es kann jedoch immer noch wichtig sein. Wenn Sie das Volumen berechnen können, können Sie beispielsweise herausfinden, wie viel Packraum Sie beim Umzug haben, wie viel Bürofläche Sie benötigen oder wie viel Marmelade Sie in ein Glas passen können.

Es kann auch nützlich sein, um zu verstehen, was die Medien bedeuten, wenn sie über die Kapazität eines Staudamms oder den Fluss eines Flusses sprechen.

Fläche und Volumen berechnen. Die Fläche wird in Einheiten im Quadrat gemessen. Wie viele Quadrate passen in eine Ebene (zweidimensionaler Raum)? Das Volumen wird in Einheiten in Würfeln gemessen. Wie viele Würfel passen in ein festes (dreidimensionales) Objekt?

Ein Hinweis zu Einheiten

Wie kann ich meine Kommunikationsfähigkeit verbessern

Die Fläche wird in quadratischen Einheiten ausgedrückt, da es sich um zwei miteinander multiplizierte Messungen handelt.

Das Volumen wird in kubischen Einheiten ausgedrückt, da es die Summe von drei Messungen (Länge, Breite und Tiefe) multipliziert ist. Kubische Einheiten umfassen cm3m3und Kubikfuß.

WARNUNG!

Das Volumen kann auch als Flüssigkeitskapazität ausgedrückt werden.

Metrisches System

Im metrischen System wird die Flüssigkeitskapazität in Litern gemessen, was direkt mit der kubischen Messung vergleichbar ist, da 1 ml = 1 cm3. 1 Liter = 1.000 ml = 1.000 cm3.

Imperial / English System

Im imperialen / englischen System sind die äquivalenten Maße flüssige Unzen, Pints, Quarts und Gallonen, die nicht leicht in Kubikfuß umgerechnet werden können. Es ist daher am besten, sich an flüssige oder feste Volumeneinheiten zu halten.

Weitere Informationen finden Sie auf unserer Seite unter Messsysteme


Grundformeln zur Volumenberechnung

Volumen von Festkörpern auf Rechteckbasis

Fläche = Breite x Länge. Volumen = Breite x Länge x Höhe.

Während die Grundformel für die Fläche einer rechteckigen Form die Länge ist × Breite ist die Grundformel für das Volumen die Länge × Breite × Höhe.

Wie Sie sich auf die verschiedenen Dimensionen beziehen, ändert nichts an der Berechnung: Sie können beispielsweise 'Tiefe' anstelle von 'Höhe' verwenden. Wichtig ist, dass die drei Dimensionen miteinander multipliziert werden. Sie können in beliebiger Reihenfolge multiplizieren, da dies die Antwort nicht ändert (siehe unsere Seite auf Multiplikation für mehr).

Eine Box mit den Abmessungen 15 cm Breite, 25 cm Länge und 5 cm Höhe hat ein Volumen von:
15 × 25 × 5 = 1875 cm3

Volumen der Prismen und Zylinder

Diese Grundformel kann erweitert werden, um das Volumen von abzudecken Zylinder und Prismen auch. Anstelle eines rechteckigen Endes haben Sie einfach eine andere Form: einen Kreis für Zylinder, ein Dreieck, ein Sechseck oder ein anderes Polygon für ein Prisma.

Bei Zylindern und Prismen ist das Volumen die Fläche einer Seite multipliziert mit der Tiefe oder Höhe der Form.

Die Grundformel für das Volumen von Prismen und Zylindern lautet daher:

Fläche der Endform × Höhe / Tiefe des Prismas / Zylinders.


Volumen der Zapfen und Pyramiden

Das gleiche Prinzip wie oben (Breite × Länge × Höhe) gilt für die Berechnung des Volumens eines Kegels oder einer Pyramide, mit der Ausnahme, dass das Volumen, da sie zu einem Punkt kommen, nur ein Anteil der Gesamtmenge ist, die es wäre, wenn sie fortgesetzt würden die gleiche Form durch.

Das Volumen eines Kegels oder einer Pyramide beträgt genau ein Drittel des Volumens eines Kastens oder Zylinders mit derselben Basis.

Die Formel lautet daher:

Fläche der Basis- oder Endform × Höhe des Kegels / der Pyramide ×1/.3

Lesen Sie zurück auf unserer Seite Fläche berechnen wenn Sie sich nicht erinnern können, wie die Fläche eines Kreises oder Dreiecks berechnet wird.

So berechnen Sie beispielsweise das Volumen eines Kegels mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 10 cm:

Die Fläche innerhalb eines Kreises = πr2 (wobei π (pi) ungefähr 3,14 beträgt und r der Radius des Kreises ist).

In diesem Beispiel ist die Fläche der Basis (Kreis) = πrzwei= 3,14 × 5 × 5 = 78,5 cmzwei.

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 cm3

Berechnen Sie das Volumen einer Kugel. 4/3 x pi x Radius gewürfelt.

Volumen einer Kugel

Wie bei einem Kreis benötigen Sie π (pi), um das Volumen einer Kugel zu berechnen.

Die Formel lautet 4/3 × π × Radius3.

Sie fragen sich vielleicht, wie Sie den Radius eines Balls berechnen könnten. Es gibt einen einfacheren Weg, als eine Stricknadel durchzustechen (effektiv, aber endständig für den Ball!).

Sie können den Abstand um den breitesten Punkt der Kugel direkt messen, z. B. mit einem Maßband. Dieser Kreis ist der Umfang und hat den gleichen Radius wie die Kugel selbst.

Der Umfang eines Kreises wird als 2 x π x Radius berechnet.

Um den Radius aus dem Umfang zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:

Teilen Sie den Umfang durch (2 x π) .


Arbeitsbeispiele: Berechnung des Volumens


Beispiel 1

Zylinder mit einer Länge von 20 cm und einem Radius von 2,5 cm
Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit einer Länge von 20 cm und einem kreisförmigen Ende mit einem Radius von 2,5 cm.

Ermitteln Sie zunächst den Bereich eines der kreisförmigen Enden des Zylinders.

Die Fläche eines Kreises ist πrzwei(Pi × Radius × Radius). π (pi) beträgt ungefähr 3,14.

Der Bereich eines Endes ist daher:

3,14 x 2,5 x 2,5 = 19,63 cmzwei

Das Volumen ist die Fläche eines Endes multipliziert mit der Länge und ist daher:

19,63 cmzweix 20 cm = 392,70 cm3




Kugel mit einem Radius von 2 cm und Pyramide mit einer quadratischen Basis von 2,5 cm und einer Höhe von 10 cm.

Beispiel 2

Was ist volumenmäßig größer, eine Kugel mit einem Radius von 2 cm oder eine Pyramide mit einem Quadrat von 2,5 cm und einer Höhe von 10 cm?

Berechnen Sie zunächst das Volumen der Kugel .

Das Volumen einer Kugel beträgt 4/3 × π × Radius3.

Das Volumen der Kugel ist daher:

4 × 3 × 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 cm3

Berechnen Sie dann das Volumen der Pyramide .

Das Volumen einer Pyramide beträgt 1/3 × Grundfläche × Höhe.

Grundfläche = Länge × Breite = 2,5 cm × 2,5 cm = 6,25 cmzwei

Das Volumen beträgt daher 1/3 x 6,25 × 10 = 20,83 cm3

Die Kugel ist daher volumenmäßig größer als die Pyramide.



Berechnung des Volumens unregelmäßiger Feststoffe

So wie Sie die Fläche unregelmäßiger zweidimensionaler Formen berechnen können, indem Sie sie in reguläre Formen zerlegen, können Sie das gleiche tun, um das Volumen unregelmäßiger Körper zu berechnen. Teilen Sie den Feststoff einfach in kleinere Teile auf, bis Sie nur noch Feststoffe erreichen, mit denen Sie problemlos arbeiten können.


Gearbeitetes Beispiel

Berechnen Sie das Volumen eines Wasserzylinders mit einer Gesamthöhe von 1 m, einem Durchmesser von 40 cm und einem halbkugelförmigen Oberteil.
Unregelmäßiger Feststoff. Kreisförmige Basis mit einem Durchmesser von 40 cm und einer Gesamthöhe von 1 m. Der obere Teil ist halbkugelförmig.

Sie teilen die Form zunächst in zwei Abschnitte, einen Zylinder und eine Halbkugel (eine halbe Kugel).

Das Volumen einer Kugel beträgt 4/3 × π × Radius3. In diesem Beispiel beträgt der Radius 20 cm (halber Durchmesser). Da die Oberseite halbkugelförmig ist, ist ihr Volumen halb so groß wie das einer vollen Kugel. Das Volumen dieses Abschnitts der Form ist daher:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16.755,16 cm3

Das Volumen eines Zylinders ist die Fläche der Basis × Höhe. Hier ist die Höhe des Zylinders die Gesamthöhe abzüglich des Radius der Kugel, der 1 m - 20 cm = 80 cm beträgt. Die Fläche der Basis beträgt πrzwei.

Das Volumen des zylindrischen Abschnitts dieser Form beträgt daher:

80 × π × 20 × 20 = 100.530,96 cm3

Das Gesamtvolumen dieses Wasserbehälters beträgt daher:
100.530,96 + 16.755,16 = 117.286,12 cm3.

Dies ist eine ziemlich große Zahl, daher können Sie es vorziehen, sie durch Teilen durch 1.000 (da 1000 cm vorhanden sind) in 117,19 Liter umzuwandeln3in einem Liter). Es ist jedoch ganz richtig, es als cm auszudrücken3da das Problem nicht verlangt, dass die Antwort in einer bestimmten Form ausgedrückt wird.



Abschließend…

Nach diesen Prinzipien sollten Sie nun in der Lage sein, das Volumen von fast allem in Ihrem Leben zu berechnen, egal ob es sich um eine Verpackungskiste, einen Raum oder eine Wasserflasche handelt.

Weiter:
Dreidimensionale Formen
Referenzblatt für Fläche, Oberfläche und Volumen