Eigenschaften von Polygonen

Siehe auch: Fläche berechnen

Diese Seite untersucht die Eigenschaften von zweidimensionalen oder 'ebenen' Polygonen. Ein Polygon ist eine beliebige Form aus geraden Linien, die wie ein Stück Papier auf einer ebenen Fläche gezeichnet werden kann. Solche Formen umfassen Quadrate, Rechtecke, Dreiecke und Fünfecke, jedoch keine Kreise oder andere Formen, die eine Kurve enthalten.

Das Verständnis von Formen ist in der Mathematik wichtig. Sie werden sicherlich in der Schule etwas über Formen lernen müssen, aber das Verständnis der Eigenschaften von Formen hat auch in beruflichen und realen Situationen viele praktische Anwendungen.

Viele Fachleute müssen die Eigenschaften von Formen verstehen, darunter Ingenieure, Architekten, Künstler, Immobilienmakler, Landwirte und Bauarbeiter.



Möglicherweise müssen Sie die Formen verstehen, wenn Sie Heimwerker- und Heimwerkerarbeiten durchführen, im Garten arbeiten und sogar eine Party planen.

Bei der Arbeit mit Polygonen sind folgende Haupteigenschaften wichtig:

  • Das Anzahl der Seiten der Form.
  • Das Winkel zwischen den Seiten der Form.
  • Das Länge der Seiten der Form.

Anzahl der Seiten

Polygone werden normalerweise durch die Anzahl der Seiten definiert, die sie haben.

Dreiseitige Polygone: Dreiecke

Ein dreiseitiges Polygon ist ein Dreieck. Es gibt verschiedene Arten von Dreiecken (siehe Abbildung), darunter:

  • Gleichseitig - Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel betragen 60 °.
  • Gleichschenklig - hat zwei gleiche Seiten, wobei die dritte eine andere Länge hat. Zwei der Innenwinkel sind gleich.
  • Szene - Alle drei Seiten und alle drei Innenwinkel sind unterschiedlich.

Dreiecke können auch anhand ihrer Innenwinkel beschrieben werden (siehe unsere Seite auf Winkel Weitere Informationen zu Benennungswinkeln). Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich immer zu 180 °.

Ein Dreieck mit nur akut Innenwinkel werden als spitzes (oder spitzwinkliges) Dreieck bezeichnet. Eins mit eins stumpf Winkel und zwei spitze Winkel werden stumpf (stumpfwinklig) genannt, und einer mit a rechter Winkel ist als rechtwinklig bekannt.

Jeder von diesen wird ebenfalls sei entweder gleichseitig, gleichschenklig oder Skalen .

Arten von Dreiecken. Gleichseitig, akut, rechtwinklig, stumpf. Gleichschenklig und Scalene.

Vierseitige Polygone - Vierecke

Vierseitige Polygone werden üblicherweise als Vierecke, Vierecke oder manchmal Tetragone bezeichnet. In der Geometrie der Begriff Viereck wird häufig verwendet. Der Begriff Viereck wird häufig verwendet, um einen rechteckigen, geschlossenen Außenbereich zu beschreiben, z. B. „die im College-Viereck versammelten Erstsemester“. Der Begriff Tetragon ist konsistent mit Polygon, Fünfeck usw. Sie können gelegentlich darauf stoßen, aber es wird in der Praxis nicht häufig verwendet.

Die Familie der Vierecke umfasst das Quadrat, das Rechteck, die Raute und andere Parallelogramme, Trapez / Trapez und Drachen.

Die Innenwinkel aller Vierecke summieren sich auf 360 °.

Vierecke. Vierseitige Formen einschließlich Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute, Trapez und Drachen.
  • Platz : Vier gleich lange Seiten, vier innere rechte Winkel.

  • Rechteck : Vier innere rechte Winkel, gegenüberliegende Seiten gleicher Länge.

  • Parallelogramm : Gegenüberliegende Seiten sind parallel, gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, entgegengesetzte Winkel sind gleich.

  • Rhombus : Eine spezielle Art von Parallelogramm, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, wie ein seitlich gequetschtes Quadrat.

  • Trapez (oder Trapez) : Zwei Seiten sind parallel, die anderen beiden Seiten jedoch nicht. Seitenlängen und Winkel sind nicht gleich.

  • Gleichschenkliges Trapez (oder Trapez) : Zwei Seiten sind parallel und die Basiswinkel sind gleich, was bedeutet, dass auch nicht parallele Seiten gleich lang sind.

  • Drachen : Zwei Paare benachbarter Seiten sind gleich lang; Die Form hat eine Symmetrieachse.

  • Unregelmäßiges Viereck : Eine vierseitige Form, bei der keine Seiten gleich lang und keine Innenwinkel gleich sind. Alle Innenwinkel summieren sich wie bei allen anderen regulären Vierecken immer noch auf 360 °.



Mehr als vier Seiten

Eine fünfseitige Form wird als Fünfeck bezeichnet.

Eine sechsseitige Form ist ein Sechseck, eine siebenseitige Form ein Siebeneck, während ein Achteck acht Seiten hat…

Polygonnamen


Die Namen der Polygone leiten sich von den Präfixen der antiken griechischen Zahlen ab. Das griechische numerische Präfix kommt in vielen Namen von Alltagsgegenständen und Konzepten vor. Diese können manchmal hilfreich sein, um sich daran zu erinnern, wie viele Seiten ein Polygon hat. Zum Beispiel:

  • Ein Oktopus hat acht Beine - ein Achteck hat acht Seiten.
  • Ein Jahrzehnt ist zehn Jahre - ein Zehneck hat zehn Seiten.
  • Der moderne Pentathlon hat fünf Events - ein Pentagon hat fünf Seiten.
  • Ein olympischer Siebenkampf hat sieben Ereignisse - ein Siebenkampf hat sieben Seiten.

Das Präfix „Poly“ bedeutet einfach „Mehrfach“. Ein Polygon ist also eine Form mit mehreren Seiten, genauso wie „Polygamie“ mehrere Ehepartner bedeutet.


Es gibt Namen für viele verschiedene Arten von Polygonen, und normalerweise ist die Anzahl der Seiten wichtiger als der Name der Form.

Es gibt zwei Haupttypen von Polygonen - reguläre und unregelmäßige.

ZU regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten mit gleichen Winkeln zwischen jeder Seite. Jedes andere Polygon ist ein unregelmäßiges Polygon , die per Definition ungleich lange Seiten und ungleiche Winkel zwischen den Seiten hat.

Kreise und Formen, die Kurven enthalten, sind keine Polygone - Ein Polygon besteht per Definition aus geraden Linien. Siehe unsere Seiten auf Kreise und geschwungene Formen für mehr.

Polygone identifizieren. Regelmäßige, unregelmäßige, konkave, konvexe und komplexe Polygone.

Winkel zwischen den Seiten

Die Winkel zwischen den Seiten von Formen sind wichtig, wenn Polygone definiert und bearbeitet werden. Siehe unsere Seite auf Winkel Weitere Informationen zum Messen von Winkeln.

Es gibt eine nützliche Formel, um die Summe (oder Summe) der Innenwinkel für jedes Polygon herauszufinden, dh:

(Anzahl der Seiten - 2) × 180 °

warum ist es wichtig, kritisch zu denken

Beispiel:

Für ein Fünfeck (eine fünfseitige Form) wäre die Berechnung:

5 - 2 = 3

3 × 180 = 540 °.

Die Summe der Innenwinkel für ein (nicht komplexes) Fünfeck beträgt 540 °.

Welche der folgenden Handlungen ist es, auf ein Signal zu achten?

Darüber hinaus, wenn die Form a ist regelmäßiges Vieleck (Alle Winkel und Seitenlängen sind gleich) Dann können Sie einfach die Summe der Innenwinkel durch die Anzahl der Seiten dividieren, um jeden Innenwinkel zu finden.

540 ÷ 5 = 108 °.

ZU regulär Das Fünfeck hat daher fünf Winkel von jeweils 108 °.


Die Länge der Seiten

Neben der Anzahl der Seiten und den Winkeln zwischen den Seiten ist auch die Länge jeder Seite der Formen wichtig.

Die Länge der Seiten einer ebenen Form ermöglicht es Ihnen, die Form zu berechnen Umfang (der Abstand um die Außenseite der Form) und Bereich (die Menge an Platz innerhalb der Form).

Länge der Seiten

Wenn Ihre Form ein reguläres Polygon ist (wie im obigen Beispiel ein Quadrat), muss nur eine Seite gemessen werden, da die anderen Seiten eines regulären Polygons per Definition dieselbe Länge haben. Es ist üblich, Häkchen zu verwenden, um anzuzeigen, dass alle Seiten gleich lang sind.

Im Beispiel des Rechtecks ​​mussten wir zwei Seiten messen - die beiden nicht gemessenen Seiten sind gleich den beiden gemessenen Seiten.

Es ist üblich, dass einige Dimensionen für komplexere Formen nicht angezeigt werden. In solchen Fällen können fehlende Abmessungen berechnet werden.

Finden der fehlenden Seitenlängen.

Im obigen Beispiel fehlen zwei Längen.

Die fehlende horizontale Länge kann berechnet werden. Nehmen Sie die kürzere horizontale bekannte Länge von der längeren horizontalen bekannten Länge.

9 m - 5,5 m = 3,5 m.

Das gleiche Prinzip kann verwendet werden, um die fehlende vertikale Länge zu berechnen. Das ist:

3 m - 1 m = 2 m.


Alle Informationen zusammenführen: Berechnung der Fläche von Polygonen

Das einfachste und grundlegendste Polygon für die Berechnung der Fläche ist das Viereck. Um die Fläche zu erhalten, multiplizieren Sie einfach die Länge mit der vertikalen Höhe.

Beachten Sie bei Parallelogrammen, dass die vertikale Höhe gleich ist NICHT die Länge der abfallenden Seite, aber der vertikale Abstand zwischen den beiden horizontalen Linien.

Dies liegt daran, dass ein Parallelogramm im Wesentlichen ein Rechteck ist, bei dem ein Dreieck an einem Ende abgeschnitten und auf das andere geklebt wird:

Rechteck und Raute

Sie können sehen, dass das Rechteck zu einem Parallelogramm wird, wenn Sie das linke blaue Dreieck entfernen und es auf das andere Ende kleben.

Die Fläche ist die Länge (die obere horizontale Linie) multipliziert mit der Höhe, dem vertikalen Abstand zwischen den beiden horizontalen Linien.

Um den Bereich von a Dreieck Sie multiplizieren die Länge mit der vertikalen Höhe (dh der vertikalen Höhe von der unteren Linie bis zum oberen Punkt) und halbieren sie. Dies liegt im Wesentlichen daran, dass ein Dreieck ein halbes Rechteck ist.

Berechnung der Fläche eines regulären Polygons Am einfachsten ist es, es in Dreiecke zu unterteilen und die Formel für die Fläche eines Dreiecks zu verwenden.

Sechseck in Dreiecke unterteilt, um die Fläche zu berechnen.

So zum Beispiel für ein Sechseck:

Sie können dem Diagramm entnehmen, dass es sechs Dreiecke gibt.

Das Gebiet ist:

Höhe (rote Linie) × Seitenlänge (blaue Linie) × 0,5 × 6 (da es sechs Dreiecke gibt).

Sie können den Bereich eines regulären Polygons auch mithilfe der Trigonometrie berechnen. Dies ist jedoch etwas komplizierter.

Siehe unsere Seite Fläche berechnen für mehr, einschließlich Beispiele.

Sie können den Bereich eines regulären Polygons auch mithilfe der Trigonometrie berechnen. Dies ist jedoch etwas komplizierter. Sehen Sie unsere Einführung in die Trigonometrie Seite für weitere Informationen.

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Gebogene Formen